Código: 22235
ECTS: 7,5
Departamento: Departamento de Ciências e Tecnologia
Área Científica: Matemática
Palavras-Chave:
Pedro Serranho
Área Científica: Matemática Aplicada
Correio Eletrónico: pedro.serranho@uab.pt
Maria do Céu Soares
Correio Eletrónico: mcs@fct.unl.pt
Sinopse:
O objetivo principal desta UC é transmitir conhecimentos e formar competências na área de análise real. Especial ênfase será dada à aprendizagem teórica não descurando, no entanto, as aplicações práticas dos conteúdos.
Competências:
Ao terminar a unidade o aluno deverá:
1. ter relembrado as noções de limite, continuidade e derivada em R;
2. saber primitivar usando os métodos usuais e conhecer e saber utilizar software online de acesso livre para o cálculo de primitivas;
3. conhecer e saber aplicar o teorema de Liouville na investigação da possibilidade/impossibilidade de primitivar determinadas funções em termos finitos;
4. conhecer a noção intuitiva de integral e, a partir dela, saber obter as propriedades básicas do integral, o teorema fundamental e a fórmula de Barrow;
5. saber a definição rigorosa de integral de Riemann;
6. saber provar rigorosamente os resultados obtidos no ponto 4 a partir da noção intuitiva de integral;
7. reconhecer as dificuldades inerentes à relação entre limites e integrais e condições de validade da integração termo-a-termo de séries de potenciais;
8. conhecer contra-exemplos para generalizações abusivas de teoremas clássicos da Análise.
Conteúdos:
1. Revisões das noções de limite, continuidade e diferenciabilidade em R
2. Primitivação e Integração;
- Revisões sobre Primitivação;
- Definição e propriedades gerais;
- Métodos para o cálculo explícito de primitivas;
- Utilização de tabelas e recursos computacionais online;
- Primitivação em termos finitos: teorema de Liouville e aplicações;
- Integração;
- motivação e definição intuitiva de integral;
- propriedades básicas do integral;
- Teorema Fundamental e fórmula de Barrow;
- definição rigorosa de integral de Riemann;
- demonstração rigorosa de propriedades do integral de Riemann;
- caracterização das funções integráveis à Riemann;
- Relações entre limites e integrais de Riemann;
- convergência uniforme e integração termo-a-termo de séries de potências;
- para além da primitivação em termos finitos;
- Aplicações de integração em vários contextos;
3. Exemplos e contra-exemplos em análise
- Funções contínuas e não diferenciáveis em todos os pontos: funções de Weierstrass;
- Funções estritamente crescentes de derivada nula em quase todos os pontos: funções de Cantor;
- Funções integráveis que não verificam a fórmula de Barrow;
4. Referências históricas serão feitas sempre que apropriado ao longo do desenrolar da UC.
Bibliografia:
1. D. Brannan: A First Course in Mathematical Analysis, 2nd. Revised Ed.; Cambridge University Press/Open University, Cambridge, 2006; ISBN 978 - 0521684248.
2. F. P. da Costa: Primitivas e Integrais; Sociedade Portuguesa de Matemática, Lisboa, 2015; http://hdl.handle.net/10400.2/3888
3. B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted: Counterexamples in Analysis; Dover, Mineola NY, 2003; ISBN 978-0486428758.
4. J. P. Santos: Cálculo Numa Variável Real; Coleção Ensino da Ciência e da Tecnologia vol. 49; IST Press, Lisboa, 2012; ISBN 978-989-8481-18-4.
Metodologias de Ensino:
E-learning
Total de Horas de Trabalho: 210
Total de Horas de Contacto: 30
Avaliação:
Observações:
Pré-requisitos: conhecimentos de matemática ao nível de licenciatura
ECTS: 7,5
Departamento: Departamento de Ciências e Tecnologia
Área Científica: Matemática
Palavras-Chave:
- Análise Matemática Real
Pedro Serranho
Área Científica: Matemática Aplicada
Correio Eletrónico: pedro.serranho@uab.pt
Maria do Céu Soares
Correio Eletrónico: mcs@fct.unl.pt
Sinopse:
O objetivo principal desta UC é transmitir conhecimentos e formar competências na área de análise real. Especial ênfase será dada à aprendizagem teórica não descurando, no entanto, as aplicações práticas dos conteúdos.
Competências:
Ao terminar a unidade o aluno deverá:
1. ter relembrado as noções de limite, continuidade e derivada em R;
2. saber primitivar usando os métodos usuais e conhecer e saber utilizar software online de acesso livre para o cálculo de primitivas;
3. conhecer e saber aplicar o teorema de Liouville na investigação da possibilidade/impossibilidade de primitivar determinadas funções em termos finitos;
4. conhecer a noção intuitiva de integral e, a partir dela, saber obter as propriedades básicas do integral, o teorema fundamental e a fórmula de Barrow;
5. saber a definição rigorosa de integral de Riemann;
6. saber provar rigorosamente os resultados obtidos no ponto 4 a partir da noção intuitiva de integral;
7. reconhecer as dificuldades inerentes à relação entre limites e integrais e condições de validade da integração termo-a-termo de séries de potenciais;
8. conhecer contra-exemplos para generalizações abusivas de teoremas clássicos da Análise.
Conteúdos:
1. Revisões das noções de limite, continuidade e diferenciabilidade em R
2. Primitivação e Integração;
- Revisões sobre Primitivação;
- Definição e propriedades gerais;
- Métodos para o cálculo explícito de primitivas;
- Utilização de tabelas e recursos computacionais online;
- Primitivação em termos finitos: teorema de Liouville e aplicações;
- Integração;
- motivação e definição intuitiva de integral;
- propriedades básicas do integral;
- Teorema Fundamental e fórmula de Barrow;
- definição rigorosa de integral de Riemann;
- demonstração rigorosa de propriedades do integral de Riemann;
- caracterização das funções integráveis à Riemann;
- Relações entre limites e integrais de Riemann;
- convergência uniforme e integração termo-a-termo de séries de potências;
- para além da primitivação em termos finitos;
- Aplicações de integração em vários contextos;
3. Exemplos e contra-exemplos em análise
- Funções contínuas e não diferenciáveis em todos os pontos: funções de Weierstrass;
- Funções estritamente crescentes de derivada nula em quase todos os pontos: funções de Cantor;
- Funções integráveis que não verificam a fórmula de Barrow;
4. Referências históricas serão feitas sempre que apropriado ao longo do desenrolar da UC.
Bibliografia:
1. D. Brannan: A First Course in Mathematical Analysis, 2nd. Revised Ed.; Cambridge University Press/Open University, Cambridge, 2006; ISBN 978 - 0521684248.
2. F. P. da Costa: Primitivas e Integrais; Sociedade Portuguesa de Matemática, Lisboa, 2015; http://hdl.handle.net/10400.2/3888
3. B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted: Counterexamples in Analysis; Dover, Mineola NY, 2003; ISBN 978-0486428758.
4. J. P. Santos: Cálculo Numa Variável Real; Coleção Ensino da Ciência e da Tecnologia vol. 49; IST Press, Lisboa, 2012; ISBN 978-989-8481-18-4.
Metodologias de Ensino:
E-learning
Total de Horas de Trabalho: 210
Total de Horas de Contacto: 30
Avaliação:
O regime de avaliação único é o de avaliação contínua, constituída pela realização de trabalhos em formato digital ao longo do semestre letivo e um exame escrito a ter lugar no final do semestre, com pesos de, respetivamente, 40% e 60% na classificação final.
Observações:
Pré-requisitos: conhecimentos de matemática ao nível de licenciatura